C11、C44与纵横波声速的关系

这些公式是超声无损检测中通过声速测量来反推材料力学性能（弹性常数）的基础。

1. 基本概念

• C₁₁ 和 C₄₄：是描述立方晶体材料弹性性质的刚度常数（弹性常数）。

• C₁₁：反映了材料在 <100> 晶向上抵抗单轴拉伸/压缩的能力（拉压弹性模量）。

• C₄₄：反映了材料抵抗剪切变形的能力（剪切模量）。

• 声速：超声波在固体中传播的速度取决于材料的密度和弹性常数。传播方向与偏振方向共同决定了是纵波还是横波。

2. 核心计算公式

对于立方晶系的单晶材料，其声速与弹性常数的关系遵循克里斯托费尔方程（Christoffel equation）的解。在不同晶向上，公式会简化。

a. 沿 <100> 晶向传播

这是最简单的情况。

1. 纵波声速 (V_L<100>)
   当纵波沿 <100> 方向传播时，其粒子振动方向也平行于 <100>。
   $V_L^{<100>}=\sqrt{\frac{C_{11}}{\rho }}$

• ρ 是材料的密度。

2. 横波声速 (V_S<100>)
   当横波沿 <100> 方向传播时，其粒子振动方向垂直于 <100>（可以在两个相互垂直的方向偏振）。
   $V_S^{<100>}=\sqrt{\frac{C_{44}}{\rho }}$

结论：在 <100> 晶向上，纵波声速只与 C₁₁ 和密度有关，横波声速只与 C₄₄ 和密度有关。这是测量这两个常数最直接的方法。

b. 沿 <110> 晶向传播

这种情况稍微复杂一些，会出现准纵波和纯横波。

1. 准纵波声速 (V_L<110>)
   波沿 <110> 传播，偏振方向接近 <110>。
   $V_L^{<110>}=\sqrt{\frac{C_{11}+C_{12}+2C_{44}}{2\rho }}$

2. 纯横波声速 (V_{S1}<110>)
   波沿 <110> 传播，偏振方向沿 <1\overline{1}0>。这个横波的速度只与 C₄₄ 有关。
   $V_{S1}^{<110>}=\sqrt{\frac{C_{44}}{\rho }}$

3. 准横波声速 (V_{S2}<110>)
   波沿 <110> 传播，偏振方向沿 <001>。
   $V_{S2}^{<110>}=\sqrt{\frac{C_{11}-C_{12}}{2\rho }}$

• 这个公式引入了另一个弹性常数 C₁₂。这个独特的横波模式是测量 C₁₂ 的关键。

3. 计算流程与示例

通常，我们通过实验测量声速，然后反推弹性常数。

假设我们要测量一个立方晶系单晶（如硅、钨、铜单晶）的 C₁₁ 和 C₄₄：

1. 制备样品：加工出一个晶面为 (100) 平面的样品。

2. 测量密度 ρ：通过阿基米德排水法等精确测量材料的密度。

3. 测量纵波声速 V_L<100>：

• 使用纵波探头，让声波垂直于 (100) 晶面入射（即沿 <100> 方向传播）。

• 用超声测厚仪或脉冲回波重叠法精确测量声速。

4. 计算 C₁₁：
   $C_{11}=\rho \cdot (V_L^{<100>}{)}^2$

5. 测量横波声速 V_S<100>：

• 使用横波探头，同样让声波沿 <100> 方向传播。

• 精确测量横波声速。

6. 计算 C₄₄：
   $C_{44}=\rho \cdot (V_S^{<100>}{)}^2$

示例：计算钨（W）的 C₁₁
已知：

• 密度 ρ = 19300 kg/m³

• 沿 <100> 方向的纵波声速 V_L ≈ 5220 m/s

计算：

$$C_{11}=19300\times (5220{)}^2=19300\times 27,248,400\approx 5.26\times 10^{11}\text{Pa}=526\text{GPa}$$

这与文献中报道的钨的 C₁₁ 值（~523 GPa）非常吻合。

总结与注意事项

重要注意事项：

1. 适用对象：上述公式仅适用于立方晶系的单晶材料。对于多晶各向同性材料，声速与弹性常数的关系不同（用拉梅常数 λ 和 μ 表示）。

2. 晶向准确性：实验结果的准确性极度依赖于样品的晶向定位精度。必须通过X射线衍射（XRD）等技术精确确定晶向。

3. 测量方法：最常用的声速测量方法是脉冲回波法，通过测量超声波在样品中往返一次的时间 t 和样品厚度 d，计算声速 V = 2d / t。

4. 常数完整性：要完全确定立方晶系的三个独立弹性常数（C₁₁, C₁₂, C₄₄），至少需要测量两个不同方向上的纵波和横波速度（通常是 <100> 和 <110> 方向）。