声子声速和纵波声速、横波声速的计算关系

声子声速（声学支）与纵波声速（$v_L$）、横波声速（$v_T$）在长波长极限下具有直接对应关系，但在一般波矢下需通过色散关系计算。以下是它们的详细计算关系及区别：

1. 长波长极限下的对应关系（$q\to 0$）

在布里渊区中心附近（长波极限），声学支声子的群速度等于宏观弹性波的声速：

• 纵向声学支（LA）：

  $$v_{\text{LA}}=v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}$$

• 横向声学支（TA）：

  $$v_{\text{TA}}=v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }}$$

  其中：

• $K$ 为体积模量，$G$ 为剪切模量，$\rho$ 为密度。

• 各向异性材料中，需通过弹性刚度张量 $C_{ijkl}$ 计算方向相关的声速（见后文）。

2. 一般波矢下的声子声速计算

对于任意波矢 $\mathbf{q}$，声子群速度需通过色散关系 $\omega (\mathbf{q})$ 求导：

$$v_g(\mathbf{q})={\nabla }_{\mathbf{q}}\omega (\mathbf{q})=\left(\frac{\partial \omega }{\partial q_x},\frac{\partial \omega }{\partial q_y},\frac{\partial \omega }{\partial q_z}\right)$$

步骤：

1. 获取色散关系：

• 实验方法：中子散射、X射线散射。

• 理论方法：密度泛函微扰理论（DFPT）、力常数模型。

2. 数值或解析求导：

• 若色散关系已知（如一维模型），可直接求导。

• 对离散数据，用差分法 $v_g\approx \Delta \omega /\Delta q$。

3. 简单模型示例

一维单原子链

• 色散关系：

  ω(q)=2βm∣sin⁡(qa2)∣ω(q)=2mβsin(2qa)

  （$\beta$ 为力常数，$a$ 为晶格常数，$m$ 为原子质量）

• 群速度：

  $$v_g(q)=\frac{d\omega }{dq}=\sqrt{\frac{\beta a^2}{m}}\cos \left(\frac{qa}{2}\right)$$

• 长波长极限（$q\to 0$）：

  $$v_g\to \sqrt{\frac{\beta a^2}{m}}=v_L\text{(与宏观纵波声速一致)}$$

4. 各向异性晶体中的声速计算

对于非立方晶体，声速依赖传播方向 $\mathbf{n}=(n_x,n_y,n_z)$，需求解克里斯托费尔方程（Christoffel equation）：

$$\rho v^2\mathbf{e}=\mathbf{D}(\mathbf{n})\cdot \mathbf{e}$$

其中动力学矩阵 $\mathbf{D}$ 的分量为：

$$D_{ik}=C_{ijkl}{n}_j{n}_l$$

步骤：

1. 对给定方向 $\mathbf{n}$，计算矩阵 $\mathbf{D}$。

2. 求解本征值问题，得到三个声速：

• 1个纵波（$v_L$，振动方向平行于 $\mathbf{n}$）。

• 2个横波（$v_{T1},v_{T2}$，振动方向垂直于 $\mathbf{n}$，可能简并）。

示例：

• 硅（Si）沿 [100] 方向：

  $$v_L=\sqrt{\frac{C_{11}}{\rho }},v_T=\sqrt{\frac{C_{44}}{\rho }}$$

5. 关键区别与联系

6. 实际应用中的注意事项

1. 实验验证：

• 超声测量得到的 $v_L$ 和 $v_T$ 应与长波长声子声速一致。

• 中子散射可直接测量色散关系 $\omega (\mathbf{q})$，进而计算 $v_g$。

2. 温度效应：

• 高温下声子-声子散射会改变有效声速，需引入非谐项修正。

3. 光学支声子：

• 光学支声子在 $q\to 0$ 时群速度通常为零（$\omega$ 与 $q$ 无关），不参与宏观声速。

7. 总结公式

• 长波长极限：

  $$v_{\text{LA}}=v_L=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }},v_{\text{TA}}=v_T=\sqrt{\frac{G}{\rho }}$$

• 任意波矢：

  $$v_g(\mathbf{q})={\nabla }_{\mathbf{q}}\omega (\mathbf{q})$$

• 各向异性晶体：通过克里斯托费尔方程求解方向相关的 $v_L$ 和 $v_T$。

通过上述关系，可在不同尺度（宏观弹性波 vs. 微观声子）和不同条件下（波矢、方向、温度）分析声速的物理本质。