弹性模量与纵波声速和横波声速的直接关系

弹性模量与纵波声速（$v_p$）、横波声速（$v_s$）的直接关系

在 均匀各向同性弹性固体 中，弹性模量（杨氏模量 $E$、剪切模量 $G$、体积模量 $K$）和泊松比（$\nu$）可以直接由纵波和横波的声速计算得出，无需中间步骤。以下是它们的 显式数学关系。

1. 直接计算公式

(1) 剪切模量 $G$

$$G=\rho v_s^2$$

• 物理意义：直接由横波声速 $v_s$ 决定，因为横波只与剪切变形相关。

(2) 体积模量 $K$

$$K=\rho \left(v_p^2-\frac{4}{3}{v}_s^2\right)$$

• 物理意义：由纵波声速 $v_p$ 和横波声速 $v_s$ 共同决定，因为纵波包含压缩和剪切两种变形。

(3) 杨氏模量 $E$

$$E=\rho v_s^2\cdot \frac{3v_p^2-4v_s^2}{v_p^2-v_s^2}$$

• 推导：由 $E=2G(1+\nu )$ 和 $\nu$ 的表达式代入得到。

(4) 泊松比 $\nu$

$$\nu =\frac{v_p^2-2v_s^2}{2(v_p^2-v_s^2)}$$

• 物理意义：仅取决于 $v_p$ 和 $v_s$ 的比值，描述材料受力时的横向收缩程度。

2. 物理意义总结

3. 示例计算

假设某材料的密度 $\rho =2500{\text{kg/m}}^3$，测得：

• 纵波声速 $v_p=6000\text{m/s}$

• 横波声速 $v_s=3500\text{m/s}$

(1) 计算剪切模量 $G$

$$G=2500\times (3500{)}^2=30.625\text{GPa}$$

(2) 计算体积模量 $K$

$$K=2500\left(6000^2-\frac{4}{3}\times 3500^2\right)=2500\left(36\times 10^6-16.33\times 10^6\right)=49.175\text{GPa}$$

(3) 计算泊松比 $\nu$

$$\nu =\frac{6000^2-2\times 3500^2}{2(6000^2-3500^2)}=\frac{36-24.5}{2\times (36-12.25)}=\frac{11.5}{47.5}\approx 0.24$$

(4) 计算杨氏模量 $E$

$$E=2500\times 3500^2\cdot \frac{3\times 6000^2-4\times 3500^2}{6000^2-3500^2}=30.625\times \frac{108-49}{23.75}\approx 76.8\text{GPa}$$

4. 极限情况验证

(1) 不可压缩材料（$\nu \to 0.5$）

• 当 $v_p\gg v_s$（如橡胶），泊松比接近 0.5，体积模量 $K\to \infty$。

• 此时杨氏模量 $E\approx 3G$。

(2) 刚性材料（$\nu \to 0$）

• 当 $v_p\approx \sqrt{2}{v}_s$（如某些陶瓷），泊松比接近 0，$E\approx 2G$。

5. 应用场景

1. 材料无损检测：通过测量 $v_p$ 和 $v_s$，直接计算弹性参数。

2. 地质勘探：利用地震波速反演地下岩石的弹性性质。

3. 工程材料设计：优化材料的刚度、压缩性和剪切性能。

6. 总结

• 剪切模量 $G$ 仅由横波声速 $v_s$ 决定。

• 体积模量 $K$ 和 泊松比 $\nu$ 由 $v_p$ 和 $v_s$ 共同决定。

• 杨氏模量 $E$ 是 $v_p$ 和 $v_s$ 的综合体现，可直接计算。