纵波声速、横波声速与弹性模量的计算公式

纵波声速 $v_p$、横波声速 $v_s$ 与弹性模量的关系（各向同性材料）

在均匀各向同性弹性固体中，纵波（压缩波）声速 $v_p$ 和 横波（剪切波）声速 $v_s$ 与弹性模量的关系如下：

1. 基本公式

(1) 纵波声速 $v_p$

$$v_p=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho }}=\sqrt{\frac{E(1-\nu )}{\rho (1+\nu )(1-2\nu )}}$$

• $K$：体积模量（Bulk Modulus）

• $G$：剪切模量（Shear Modulus）

• $E$：杨氏模量（Young's Modulus）

• $\nu$：泊松比（Poisson's Ratio）

• $\rho$：材料密度（Density）

(2) 横波声速 $v_s$

$$v_s=\sqrt{\frac{G}{\rho }}$$

2. 弹性模量的计算公式

(1) 剪切模量 $G$（直接计算）

$$G=\rho v_s^2$$

(2) 体积模量 $K$

$$K=\rho \left(v_p^2-\frac{4}{3}{v}_s^2\right)$$

(3) 杨氏模量 $E$

$$E=2G(1+\nu )=\frac{9KG}{3K+G}$$

(4) 泊松比 $\nu$

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}=\frac{v_p^2-2v_s^2}{2(v_p^2-v_s^2)}$$

3. 推导过程

(1) 从 $v_p$ 和 $v_s$ 求 $K$ 和 $G$

由纵波和横波声速公式：

$$v_p^2=\frac{K+\frac{4}{3}G}{\rho },v_s^2=\frac{G}{\rho }$$

解得：

$$G=\rho v_s^2$$

代入 $v_p$ 公式：

$$v_p^2=\frac{K+\frac{4}{3}\rho v_s^2}{\rho }$$$$K=\rho v_p^2-\frac{4}{3}\rho v_s^2=\rho \left(v_p^2-\frac{4}{3}{v}_s^2\right)$$

(2) 计算 $E$ 和 $\nu$

已知 $E$ 和 $G$ 的关系：

$$E=2G(1+\nu )$$

以及 $K$ 和 $G$ 的关系：

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

联立解得泊松比：

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}$$

4. 示例计算

假设：

• 材料密度 $\rho =2700{\text{kg/m}}^3$（如铝）

• 纵波声速 $v_p=6300\text{m/s}$

• 横波声速 $v_s=3100\text{m/s}$

(1) 计算 $G$

$$G=\rho v_s^2=2700\times (3100{)}^2=25.95\text{GPa}$$

(2) 计算 $K$

$$K=\rho \left(v_p^2-\frac{4}{3}{v}_s^2\right)=2700\left(6300^2-\frac{4}{3}\times 3100^2\right)\approx 72.56\text{GPa}$$

(3) 计算 $\nu$

$$\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}=\frac{3\times 72.56-2\times 25.95}{2(3\times 72.56+25.95)}\approx 0.34$$

(4) 计算 $E$

$$E=2G(1+\nu )=2\times 25.95\times (1+0.34)\approx 69.6\text{GPa}$$

5. 总结

6. 适用条件

• 各向同性弹性固体（如金属、玻璃、塑料等）。

• 不适用于流体（液体、气体），因为横波 $v_s=0$。

• 各向异性材料（如晶体、复合材料）需要更复杂的弹性张量计算。